El estudio del movimiento pendular constituye un tema fundamental en la dinámica clásica, representando un sistema oscilatorio que combina conceptos de fuerzas, energía y movimiento circular. El péndulo simple, idealizado como una masa puntual suspendida de un hilo inextensible y sin masa, presenta un movimiento periódico cuando se desplaza de su posición de equilibrio.
La importancia de esta actividad radica en la implementación computacional de las ecuaciones del movimiento pendular, lo que permite visualizar y analizar cantidades físicas que son difíciles de obtener analíticamente para condiciones iniciales arbitrarias. El uso de Modellus facilita la resolución numérica de las ecuaciones diferenciales no lineales que gobiernan el movimiento.
El objetivo principal fue modelar un péndulo de longitud L = 0.7 m con masa m = 1.5 kg que pasa por el punto más bajo con velocidad v = 2.5 m/s, resolviendo numéricamente sus ecuaciones de movimiento y analizando sus características dinámicas.
Se implementó el siguiente modelo matemático en la ventana correspondiente de Modellus:
Se configuraron los siguientes valores:
Se configuró el espacio de trabajo de Modellus con:
La Figura 1 muestra la interfaz de Modellus con la simulación en ejecución. Se observa claramente la trayectoria circular descrita por la masa del péndulo, confirmando que el movimiento se desarrolla sobre un arco de circunferencia de radio R = 0.7 m. Los vectores de aceleración (en rojo) muestran cómo cambia la dirección de la aceleración durante el movimiento, siendo siempre dirigida hacia el centro de la trayectoria circular en la componente centrípeta.
En la Figura 2 se observa que ambas coordenadas presentan un comportamiento oscilatorio periódico. La coordenada x (línea azul) muestra una oscilación armónica casi perfecta, mientras que la coordenada y (línea roja) presenta una variación periódica con forma diferente debido a la restricción geométrica del movimiento circular. El periodo de oscilación determinado a partir de estas gráficas es de aproximadamente 1.68 segundos.
La Figura 3 confirma visualmente que la trayectoria es un arco de circunferencia. Todos los puntos de la trayectoria satisfacen la ecuación x² + y² = R² = 0.49 m², validando que la longitud del péndulo permanece constante durante el movimiento. La simetría de la trayectoria respecto al eje vertical indica que las condiciones iniciales fueron configuradas correctamente.
El ángulo θ del vector posición respecto a la vertical se calculó mediante la relación:
La gráfica de θ en función del tiempo muestra un comportamiento periódico sinusoidal, con amplitud angular máxima de aproximadamente 0.29 radianes (16.6°). El periodo de esta oscilación angular coincide con el periodo del movimiento pendular.
La magnitud de la velocidad presenta variaciones periódicas, alcanzando su valor máximo (2.5 m/s) en el punto más bajo de la trayectoria y su valor mínimo (0 m/s) en los puntos de máxima altura. La conservación de la energía mecánica se verifica aproximadamente, considerando las pequeñas discrepancias debidas a errores numéricos del método de integración.
La Figura 4 muestra claramente cómo la velocidad varía periódicamente entre cero y su valor máximo. Los puntos donde la velocidad es cero corresponden a los instantes en que el péndulo alcanza sus posiciones extremas (altura máxima), mientras que los máximos de velocidad ocurren cuando el péndulo pasa por el punto más bajo de su trayectoria.
Para validar el modelo implementado, se verificaron las siguientes relaciones físicas:
Todas estas verificaciones mostraron coherencia con las predicciones teóricas, confirmando que el modelo computacional implementado describe correctamente la física del péndulo simple.
La implementación exitosa del modelo de péndulo en Modellus demuestra la potencia de las herramientas computacionales para resolver problemas de dinámica que involucran ecuaciones diferenciales no lineales. Aunque el péndulo simple tiene solución analítica para pequeñas amplitudes (aproximación de ángulo pequeño), el caso general con amplitudes arbitrarias requiere métodos numéricos como el implementado.
Un aspecto importante observado fue la necesidad de utilizar un paso de tiempo suficientemente pequeño (0.01 s) para garantizar la estabilidad numérica de la solución. Con pasos mayores (por ejemplo, 0.05 s), se observaron errores acumulativos que llevaban a violaciones de la restricción geométrica x² + y² = R².
La visualización de vectores de aceleración agregó valor pedagógico significativo, permitiendo observar directamente cómo la aceleración total se descompone en componentes tangencial y centrípeta durante el movimiento. En los puntos extremos, la aceleración es puramente centrípeta, mientras que en el punto más bajo tiene componentes tanto centrípeta como tangencial.
El análisis del ángulo de posición θ(t) mostró que, incluso con la amplitud moderada de este caso (16.6°), el movimiento se aparta ligeramente del comportamiento sinusoidal perfecto predicho por la aproximación de pequeñas amplitudes. Esta desviación es consistente con la teoría del péndulo no lineal, donde el periodo depende ligeramente de la amplitud.
La metodología implementada puede extenderse a configuraciones más complejas, como péndulos con amortiguamiento, péndulos forzados, o sistemas de péndulos acoplados, demostrando la versatilidad del enfoque computacional en el estudio de la dinámica clásica.
1. Modellus. (2025). Software de modelado matemático. Universidad Nueva de Lisboa.
2. Marion, J. B., & Thornton, S. T. (2003). Classical dynamics of particles and systems. Brooks/Cole.
3. Guía de actividades de Dinámica - Física. Universidad de Panamá, FACINET.
4. Young, H. D., & Freedman, R. A. (2013). Física universitaria (Vol. 1). Pearson Educación.