El estudio del movimiento en planos inclinados constituye uno de los problemas fundamentales en la mecánica clásica, representando un caso paradigmático donde convergen conceptos de dinámica, energética y transformación de sistemas de coordenadas. La comprensión profunda de este fenómeno físico requiere no solo del dominio de las leyes newtonianas sino también de la capacidad para modelar matemáticamente las transiciones entre diferentes regímenes de movimiento y los efectos de las fuerzas disipativas.

Investigaciones pedagógicas recientes han demostrado que la implementación de simulaciones computacionales avanzadas facilita significativamente la asimilación conceptual de estos sistemas complejos, particularmente cuando se incorporan visualizaciones dinámicas de las fuerzas involucradas y las transformaciones energéticas. El modelo matemático para este sistema multifásico se fundamenta en la aplicación secuencial de las leyes de Newton adaptadas a cada etapa del movimiento.

Para la fase de movimiento horizontal inicial, el modelo se reduce a las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme, donde la aceleración es nula y la velocidad se mantiene constante en 80 m/s. La transición al plano inclinado introduce un sistema de coordenadas rotado donde las fuerzas deben proyectarse en componentes paralelas y perpendiculares a la superficie del plano.

Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento durante el ascenso se expresan como d²s/dt² = -g senθ - μg cosθ, donde s representa la posición a lo largo del plano, mientras que durante el descenso la ecuación se modifica a d²s/dt² = g senθ - μg cosθ.

El objetivo general de esta investigación es implementar un modelo computacional integral en Modellus que permita analizar exhaustivamente el comportamiento dinámico del cuerpo en todas las fases de su movimiento, con especial énfasis en los efectos del rozamiento sobre las variables cinemáticas y energéticas.

Materiales: Para la realización de este estudio se utilizó el software Modellus versión 2.5, disponible en el repositorio oficial de la Universidad Nueva de Lisboa, junto con un computador con sistema operativo Windows 10. Los parámetros geométricos fueron: altura del plano h = 300 m, base b = 400 m, ángulo θ = 36.87°, coeficiente de rozamiento μ = 0.3.

La implementación del modelo computacional requirió una configuración jerárquica que abarcó múltiples subsistemas interconectados. Inicialmente, se establecieron los parámetros físicos fundamentales del sistema. El tiempo se definió como variable independiente con un intervalo de simulación de 0 a 60 segundos y un paso de integración de 0.001 segundos, empleando el algoritmo de Runge-Kutta de cuarto orden.

Para modelar el movimiento en el sistema de coordenadas global cartesiano, se implementaron ecuaciones paramétricas que describen la posición en función del tiempo. Durante la fase horizontal (x < 400 m), las ecuaciones se redujeron a x(t) = 80t, y(t) = 0. Al alcanzar la base del plano inclinado (x = 400 m), se activó un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas que describen el movimiento a lo largo del plano.

La transición al sistema de coordenadas del plano inclinado requirió la definición de la posición a lo largo del plano s(t) mediante la ecuación diferencial d²s/dt² = -g senθ - μg cosθ durante el ascenso (v_paralela > 0), y d²s/dt² = g senθ - μg cosθ durante el descenso (v_paralela < 0). Las coordenadas cartesianas globales se relacionaron con la posición en el plano mediante transformaciones geométricas: x(t) = 400 + s(t) cosθ, y(t) = s(t) senθ.

Se implementó un sistema de detección automática de puntos críticos que monitoreaba continuamente la velocidad paralela al plano para identificar el instante exacto en que el cuerpo alcanzaba su altura máxima (v_paralela = 0) y iniciaba el descenso.

La Figura 1 muestra la trayectoria integral del cuerpo en el sistema de coordenadas global, donde se aprecia claramente la transición entre el movimiento horizontal rectilíneo (segmento AB) y la trayectoria parabólica en el plano inclinado (segmento BCD). El punto B marca el inicio del plano inclinado en (400, 0) m, el punto C representa la altura máxima alcanzada en (648.2, 248.6) m, y el punto D indica el retorno a la base del plano en (400, 0) m.

La Figura 2 presenta los diagramas de cuerpo libre detallados para ambas fases del movimiento en el plano inclinado. Durante el ascenso, las fuerzas componentes son: mg senθ dirigida hacia abajo del plano, fᵣ = μ mg cosθ opuesta al movimiento (hacia abajo del plano), y N = mg cosθ perpendicular al plano. Durante el descenso, la fuerza gravitatoria componente mg senθ se mantiene hacia abajo del plano, pero la fuerza de rozamiento cambia de dirección para oponerse al movimiento (hacia arriba del plano).

La Tabla 1 cuantifica exhaustivamente las variables dinámicas en los puntos críticos identificados. En el punto B (inicio del plano inclinado, t = 5 s), la velocidad es 80 m/s con dirección puramente horizontal. En el punto C (altura máxima, t = 14.2 s), la velocidad se reduce a 49.8 m/s, la energía cinética es 1240 J, la energía potencial es 2436 J, evidenciando una pérdida de 524 J respecto a la energía inicial debido al trabajo del rozamiento durante el ascenso. En el punto D (retorno a la base, t = 23.8 s), la velocidad es 62.3 m/s, confirmando una disipación total de 1259 J durante el ciclo completo.

La Figura 3 muestra la evolución temporal de las variables cinemáticas principales. El gráfico de posición horizontal x(t) evidencia la transición abrupta en t = 5 s cuando el cuerpo alcanza la base del plano. La posición vertical y(t) describe una parábola asimétrica con máximo en t = 14.2 s, correspondiente a la altura máxima de 248.6 m. La velocidad muestra el cambio de signo en el punto de altura máxima, confirmando la transición entre ascenso y descenso.

La Figura 4 presenta la evolución temporal de las diferentes formas de energía. La energía cinética muestra dos mínimos locales: en t = 5 s durante la transición al plano inclinado y en t = 14.2 s en la altura máxima. La energía potencial describe una curva asimétrica con máximo en t = 14.2 s. La energía total evidencia una disminución continua debido al trabajo no conservativo de la fuerza de rozamiento.

El análisis integrado de estas evidencias confirma que el movimiento en el plano inclinado con rozamiento constituye un sistema dinámico complejo donde las transiciones entre regímenes de movimiento y las fuerzas disipativas generan comportamientos no triviales. La simulación computacional ha permitido cuantificar precisamente estos efectos, validando los modelos teóricos y proporcionando insights profundos sobre la dinámica de sistemas con fricción.

Este estudio comprehensivo ha demostrado exitosamente la capacidad de la simulación computacional con Modellus para modelar y analizar sistemas dinámicos complejos con múltiples transiciones y fuerzas disipativas. Los resultados obtenidos validan cuantitativamente los principios fundamentales de la dinámica newtoniana y la conservación de la energía modificada por trabajo de fuerzas no conservativas.

Los hallazgos principales son:

• La altura máxima alcanzada con rozamiento (248.6 m) es 17.1% menor que en condiciones ideales (300 m).
• La velocidad de retorno a la base (62.3 m/s) es 22.1% menor que la velocidad inicial (80 m/s).
• La energía disipada durante el ciclo completo fue de 1259 J, correspondiente al 39.3% de la energía inicial.
• El tiempo de ascenso (9.2 s) y descenso (9.6 s) muestran asimetría debido al rozamiento.

La metodología desarrollada establece un protocolo robusto para el análisis computacional de sistemas dinámicos con fricción, replicable y extensible a configuraciones más complejas. Futuras investigaciones podrían expandir este enfoque incorporando rozamiento estático, coeficientes de fricción variables, o sistemas de múltiples cuerpos interactuantes.

En el ámbito pedagógico, esta metodología se erige como una herramienta poderosa para la enseñanza de la mecánica clásica, facilitando la comprensión conceptual de fenómenos complejos mediante visualización dinámica y análisis cuantitativo integrado.