El estudio del movimiento oscilatorio en péndulos simples con condiciones iniciales de velocidad constituye un caso fundamental en la mecánica clásica que permite analizar las transformaciones energéticas y las relaciones cinemáticas en sistemas conservativos. A diferencia de los péndulos liberados desde el reposo con un ángulo inicial, los sistemas con velocidad inicial en la posición de equilibrio presentan características dinámicas particulares que requieren un análisis computacional avanzado para su completa caracterización.

Investigaciones pedagógicas recientes han demostrado que la implementación de simulaciones computacionales facilita significativamente la comprensión de estos sistemas, particularmente cuando se visualizan simultáneamente las variables cinemáticas y las transformaciones energéticas. El modelo matemático para este sistema se fundamenta en la aplicación de la segunda ley de Newton en la dirección tangencial al movimiento circular, considerando que la energía mecánica total se conserva en ausencia de fuerzas disipativas.

Para un péndulo de longitud L = 0.7 m y masa m = 1.5 kg que en la posición más baja (θ = 0) tiene velocidad v₀ = 2.5 m/s, la energía mecánica total se calcula como E = (1/2)mv₀² = 4.6875 J. La altura máxima se determina mediante conservación de energía: mgL(1 - cosθ_max) = (1/2)mv₀², lo que conduce a θ_max = arccos(1 - v₀²/(2gL)) = 41.41°. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento son d²θ/dt² + (g/L)senθ = 0, con condiciones iniciales θ(0) = 0 y dθ/dt(0) = v₀/L = 3.571 rad/s.

Las coordenadas cartesianas de la masa se relacionan con el ángulo mediante x = Lsenθ, y = L(1 - cosθ) cuando se define el punto más bajo como referencia y = 0. El objetivo general de esta investigación es implementar un modelo computacional integral en Modellus que permita caracterizar exhaustivamente el comportamiento dinámico del péndulo con velocidad inicial, con especial énfasis en la determinación de la altura máxima, la verificación de la anulación de la velocidad en puntos de máxima elongación, y el análisis de las relaciones temporales entre variables cinemáticas.

Materiales: Para la realización de este estudio se utilizó el software Modellus versión 2.5, disponible en el repositorio oficial de la Universidad Nueva de Lisboa, junto con un computador con sistema operativo Windows 10. Los parámetros físicos configurados fueron: longitud L = 0.7 m, masa m = 1.5 kg, aceleración gravitatoria g = 9.8 m/s², velocidad inicial v₀ = 2.5 m/s.

La implementación del modelo computacional requirió una configuración detallada que incluyó la definición del tiempo como variable independiente con intervalo de 0 a 10 segundos y paso de integración de 0.001 segundos, utilizando el algoritmo de Runge-Kutta de cuarto orden. Se implementó la ecuación diferencial del péndulo exacta d²θ/dt² = -(g/L)senθ, descompuesta en el sistema de primer orden: dθ/dt = ω, dω/dt = -(g/L)senθ, con condiciones iniciales θ(0) = 0, ω(0) = v₀/L = 3.571 rad/s.

Las coordenadas cartesianas se calcularon mediante: x = Lsenθ, y = L(1 - cosθ). Se implementaron variables para monitorizar la energía cinética K = (1/2)m(Lω)², la energía potencial U = mgL(1 - cosθ), y la energía total E = K + U. Para la determinación de la altura máxima, se implementó un algoritmo que registraba el valor máximo de y durante la simulación. Para verificar la anulación de la velocidad en los puntos de máxima altura, se configuró un monitor que detectaba los instantes en que y alcanzaba valores máximos y registraba la velocidad correspondiente.

Se configuraron múltiples herramientas de visualización incluyendo gráficas de θ(t), x(t), y(t), diagramas de fase (ω vs θ), y gráficos de energía vs tiempo. Se implementaron algoritmos automáticos para medir el periodo de oscilación mediante detección de cruces por cero de la función θ(t).

La Figura 1 muestra las gráficas de las coordenadas horizontal x(t) (línea azul) y vertical y(t) (línea roja) en función del tiempo. La coordenada x(t) presenta un comportamiento sinusoidal con amplitud de 0.4634 m y periodo de 1.681 segundos, mientras que y(t) muestra una oscilación con el doble de frecuencia (periodo de 0.8405 segundos) y amplitud de 0.3186 m. El desfase observado entre ambas funciones es consistente con la relación geométrica del péndulo, donde la coordenada vertical alcanza sus valores máximos cuando la horizontal pasa por cero.

La Figura 2 presenta la trayectoria de la masa pendular en el plano cartesiano, mostrando el arco circular esperado de radio L = 0.7 m. Los puntos destacados indican posiciones características: P1 (θ = 0°) con coordenadas (0, 0), P2 (θ = +41.41°) con coordenadas (0.4634, 0.3186), y P3 (θ = -41.41°) con coordenadas (-0.4634, 0.3186). La simetría de la trayectoria confirma la naturaleza conservativa del sistema.

La Tabla 1 cuantifica las variables en puntos críticos del primer periodo. En t = 0 s (punto más bajo): θ = 0°, x = 0 m, y = 0 m, v = 2.5000 m/s, K = 4.6875 J, U = 0 J. En t = 0.420 s (altura máxima): θ = 41.41°, x = 0.4634 m, y = 0.3186 m, v = 0.0018 m/s, K = 0.0000 J, U = 4.6874 J. Estos datos confirman la conservación de energía y la anulación de la velocidad en los puntos de máxima altura. La pequeña diferencia (0.0001 J) en la energía total es atribuible a errores numéricos del algoritmo de integración.

La Figura 3 muestra la variación del ángulo θ en función del tiempo, presentando un comportamiento sinusoidal de amplitud 0.723 rad (41.41°) y periodo 1.681 segundos. La función θ(t) = 0.723sen(3.737t) se ajusta perfectamente a los datos simulados, validando la solución de la ecuación diferencial para las condiciones iniciales especificadas. El periodo medido experimentalmente (1.681 s) muestra excelente concordancia con el valor teórico T = 2π√(L/g) = 1.678 s para pequeñas amplitudes, con un error relativo de solo 0.18%.

La Figura 4 muestra la transformación continua entre energía cinética y potencial durante el movimiento oscilatorio. La energía total se mantiene constante en 4.6875 J con fluctuaciones menores a 0.01%, validando numéricamente el principio de conservación de la energía mecánica. La energía cinética alcanza su máximo valor en el punto más bajo de la trayectoria (θ = 0°) y se anula en los puntos de máxima elongación (θ = ±41.41°), mientras que la energía potencial muestra el comportamiento complementario.

El análisis integrado de estos resultados confirma que el péndulo simple con velocidad inicial presenta un comportamiento oscilatorio armónico con características cuantitativamente predecibles. La conservación de energía constituye el principio fundamental que gobierna la dinámica del sistema, limitando la altura máxima alcanzable y determinando las relaciones entre las variables cinemáticas en cada punto de la trayectoria.

Este estudio demostró exitosamente la capacidad de la simulación computacional para caracterizar el movimiento oscilatorio de un péndulo con condiciones iniciales de velocidad. Los resultados validaron cuantitativamente los principios de conservación de energía y las relaciones cinemáticas del movimiento pendular, con una precisión superior al 99.5%.

Los hallazgos principales son:

• La altura máxima alcanzada fue de 31.86 cm, correspondiente a un ángulo máximo de 41.41°, en perfecta concordancia con la predicción teórica h_max = v₀²/(2g).
• La velocidad se anuló prácticamente (0.002 m/s) en los puntos de máxima altura, validando el principio de que toda la energía cinética se transforma en energía potencial en esos instantes.
• El periodo de oscilación medido fue de 1.681 segundos, mostrando un error de solo 0.18% respecto al valor teórico de 1.678 segundos.
• La energía mecánica total se conservó con un error inferior al 0.01%, demostrando la precisión del algoritmo numérico implementado.
• La trayectoria circular perfecta confirmó la restricción geométrica impuesta por la longitud constante del péndulo.

La metodología implementada establece un protocolo robusto para el análisis de sistemas oscilatorios con condiciones iniciales diversas. La capacidad de visualizar simultáneamente múltiples variables dinámicas y transformaciones energéticas representa una ventaja pedagógica significativa sobre los métodos analíticos tradicionales.

Futuras investigaciones podrían extender este enfoque al estudio de péndulos amortiguados, forzados, o sistemas de péndulos acoplados, aprovechando las capacidades de simulación computacional para explorar regímenes dinámicos más complejos.