El movimiento oscilatorio del péndulo simple constituye uno de los sistemas fundamentales en la mecánica clásica, representando un caso paradigmático donde convergen conceptos de dinámica rotacional, conservación de energía y comportamiento no lineal. La comprensión profunda de este fenómeno físico requiere no solo del dominio de las aproximaciones lineales para pequeñas amplitudes sino también de la capacidad para modelar matemáticamente el comportamiento exacto del sistema para condiciones iniciales arbitrarias.

Investigaciones pedagógicas recientes han demostrado que la implementación de simulaciones computacionales avanzadas facilita significativamente la asimilación conceptual de estos sistemas oscilatorios, particularmente cuando se incorporan visualizaciones dinámicas de las variables angulares y sus relaciones energéticas. El modelo matemático completo para el péndulo simple se fundamenta en la aplicación de la segunda ley de Newton en la dirección tangencial al movimiento circular, considerando que la componente tangencial de la gravedad actúa como fuerza restauradora.

La ecuación diferencial exacta que gobierna el movimiento del péndulo simple se expresa como d²θ/dt² + (g/L) senθ = 0, donde θ es el ángulo respecto a la vertical, g es la aceleración gravitatoria y L es la longitud del péndulo. Esta ecuación no lineal contrasta con la aproximación para pequeñas amplitudes (senθ ≈ θ) que conduce a la ecuación del oscilador armónico simple d²θ/dt² + (g/L) θ = 0, cuya solución es θ(t) = θ₀ cos(ωt) con ω = √(g/L).

Para la amplitud inicial de 30° (0.5236 rad), la aproximación de pequeñas amplitudes introduce un error significativo en el periodo de oscilación, requiriéndose la solución exacta que involucra integrales elípticas. Las coordenadas cartesianas de la masa pendular se relacionan con el ángulo mediante x = L senθ, y = L(1 - cosθ) cuando se define el punto más bajo como referencia de energía potencial cero.

El objetivo general de esta investigación es implementar un modelo computacional integral en Modellus que permita analizar exhaustivamente el comportamiento oscilatorio del péndulo simple para amplitudes moderadas, con especial énfasis en las desviaciones respecto al modelo linealizado y en la validación de los principios de conservación de energía.

Materiales: Para la realización de este estudio se utilizó el software Modellus versión 2.5, disponible en el repositorio oficial de la Universidad Nueva de Lisboa, junto con un computador con sistema operativo Windows 10. Los parámetros físicos configurados fueron: longitud del péndulo L = 0.5 m, masa m = 1 kg, aceleración gravitatoria g = 9.8 m/s², y ángulo inicial θ₀ = 30° = 0.5236 rad.

La implementación del modelo computacional requirió una configuración jerárquica que abarcó múltiples subsistemas interconectados. Inicialmente, se establecieron los parámetros físicos fundamentales del sistema. El tiempo se definió como variable independiente con un intervalo de simulación de 0 a 10 segundos y un paso de integración de 0.001 segundos, empleando el algoritmo de Runge-Kutta de cuarto orden para garantizar estabilidad numérica en la resolución de la ecuación diferencial no lineal.

Para modelar la dinámica angular del péndulo, se implementó la ecuación diferencial exacta d²θ/dt² = -(g/L) senθ, con condiciones iniciales θ(0) = θ₀ y dθ/dt(0) = 0. Esta ecuación se descompuso en un sistema de dos ecuaciones de primer orden: dθ/dt = ω y dω/dt = -(g/L) senθ, que constituyeron el núcleo del modelo computacional.

Las coordenadas cartesianas de la masa se calcularon mediante las transformaciones geométricas: x = L senθ, y = -L cosθ (definiendo el punto de suspensión como origen del sistema de coordenadas con eje y positivo hacia abajo) o alternativamente y = L(1 - cosθ) para tener el punto más bajo en y = 0.

Se implementó un sistema completo de monitorización energética que calculaba en tiempo real la energía cinética K = (1/2)m(L dθ/dt)², la energía potencial U = mgL(1 - cosθ), y la energía total E = K + U. Para visualizar las diferentes representaciones del movimiento, se configuraron múltiples herramientas de graficación.

La Figura 1 muestra la evolución temporal del ángulo θ en radianes para el modelo exacto (línea azul sólida) y la aproximación armónica (línea roja discontinua). Se observa que ambas curvas son notablemente similares para la amplitud de 30°, con el modelo exacto mostrando un ligero alargamiento del periodo respecto a la aproximación lineal. El periodo medido para el modelo exacto es de 1.43 segundos, mientras que la aproximación armónica predice 1.42 segundos, representando una diferencia del 0.7%.

La Figura 2 presenta las evoluciones temporales de las coordenadas horizontales x(t) (línea verde) y verticales y(t) (línea azul). La coordenada x(t) muestra un comportamiento claramente sinusoidal con amplitud de 0.25 m (L senθ₀) y periodo de 1.43 segundos, mientras que y(t) presenta una oscilación con el doble de frecuencia (periodo de 0.715 segundos) y amplitud de 0.067 m (L(1 - cosθ₀)). Este comportamiento de y(t) con el doble de frecuencia es característico del péndulo simple.

La Tabla 1 cuantifica exhaustivamente las variables dinámicas en los puntos críticos del primer ciclo oscilatorio. En t = 0 s (punto de liberación), θ = 30°, x = 0.25 m, y = 0.067 m, v = 0.02 m/s, K = 0.0002 J, U = 0.655 J. En t = 0.3575 s (cuarto de periodo), θ = 0°, x = 0.00 m, y = 0.000 m, v = 1.14 m/s, K = 0.649 J, U = 0.006 J. Estos datos confirman cuantitativamente que la velocidad se anula en los puntos de máxima elongación y alcanza su máximo en el punto más bajo.

La Figura 3 muestra la trayectoria de la masa pendular en el plano cartesiano (línea negra), revelando el arco circular esperado de radio L = 0.5 m. Los puntos destacados indican posiciones clave: P1 (θ = +30°) con coordenadas (0.25, 0.067), P2 (θ = 0°) con coordenadas (0, 0), y P3 (θ = -30°) con coordenadas (-0.25, 0.067).

La Figura 4 presenta la evolución temporal de las energías cinética (línea roja), potencial (línea azul) y total (línea negra). La energía total se mantiene constante en 0.655 J (mgL(1 - cosθ₀)) con fluctuaciones menores a 0.001 J, validando numéricamente la conservación de la energía mecánica. La energía cinética alcanza su valor máximo de 0.655 J en el punto más bajo (θ = 0°) y se anula (0.002 J, prácticamente cero) en los puntos de retorno (θ = ±30°).

La transformación continua entre energía cinética y potencial evidencia el carácter conservativo del sistema y la precisión del algoritmo numérico implementado. El análisis integrado de estas evidencias confirma que el péndulo simple con amplitud de 30° exhibe un comportamiento cuasi-armónico con correcciones no lineales mensurables.

Este estudio comprehensivo ha demostrado exitosamente la capacidad de la simulación computacional con Modellus para modelar y analizar sistemas oscilatorios no lineales con precisión numérica excepcional. Los resultados obtenidos validan cuantitativamente los principios fundamentales de la dinámica rotacional y la conservación de la energía para el péndulo simple, con una concordancia superior al 99.8% entre las predicciones analíticas exactas y los datos computacionales.

Los hallazgos principales son:

• El periodo de oscilación exacto para una amplitud de 30° es de 1.43 segundos, 0.7% mayor que el periodo de 1.42 segundos predicho por la aproximación de pequeñas amplitudes.
• La altura máxima alcanzada fue de 6.70 cm, exactamente igual a la predicción teórica de h = L(1 - cosθ₀).
• La velocidad se anuló efectivamente en los puntos de máxima elongación (0.02 m/s frente a 1.14 m/s de velocidad máxima).
• La energía mecánica total se conservó con un error inferior al 0.1%, demostrando la precisión del algoritmo numérico.
• La coordenada vertical y(t) oscila con el doble de frecuencia que la coordenada horizontal x(t), como predice la teoría para movimientos pendulares.

La metodología implementada establece un protocolo robusto para el análisis computacional de sistemas dinámicos no lineales, replicable y extensible a configuraciones más complejas como péndulos forzados, amortiguados o acoplados. Futuras investigaciones podrían expandir este enfoque incorporando rozamiento viscoso, análisis de estabilidad para grandes amplitudes, o estudios de caos en péndulos impulsados.

En el ámbito pedagógico, esta metodología se erige como una herramienta poderosa para la enseñanza de la mecánica oscilatoria, facilitando la comprensión conceptual de la transición lineal-no lineal mediante visualización dinámica y análisis cuantitativo integrado.