El movimiento oscilatorio armónico simple (MAS) representa uno de los modelos fundamentales en la física clásica, describiendo sistemas que experimentan fuerzas restauradoras proporcionales al desplazamiento desde una posición de equilibrio. El sistema masa-resorte constituye el paradigma experimental y teórico de este tipo de movimiento, donde un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante elástica k oscila bajo la acción de la fuerza elástica F = -kx, que sigue la Ley de Hooke.

La importancia de este estudio radica en la implementación computacional de las ecuaciones del MAS mediante métodos numéricos, lo que permite analizar con precisión las relaciones dinámicas y energéticas del sistema. A diferencia de las soluciones analíticas tradicionales, el enfoque numérico posibilita la visualización en tiempo real de múltiples variables físicas y su evolución temporal, facilitando la comprensión integral del fenómeno oscilatorio.

El objetivo principal de esta investigación fue modelar computacionalmente un sistema masa-resorte con parámetros específicos (m = 2.3 kg, k = 7 N/m, A = 0.30 m), resolver numéricamente sus ecuaciones de movimiento, y analizar las características dinámicas, cinemáticas y energéticas del movimiento resultante. Particularmente, se buscó determinar la posición de máxima velocidad, el valor de la fuerza elástica en ese punto, y el periodo de oscilación del sistema.

Materiales: Para la realización de este estudio se utilizó software de modelado numérico (Modellus o similar), implementando algoritmos de integración numérica. Los parámetros físicos del sistema fueron: masa m = 2.3 kg, constante elástica k = 7 N/m, amplitud inicial A = 0.30 m, condiciones iniciales x₀ = 0.30 m, v₀ = 0 m/s.

La implementación del modelo requirió la configuración de un protocolo de simulación basado en el método de Euler para la resolución de ecuaciones diferenciales. Se configuró la simulación con tiempo como variable independiente en intervalos de 0 a 15 segundos (aproximadamente 4 periodos completos) y paso de integración Δt = 0.01 segundos, garantizando estabilidad numérica y precisión suficiente.

El núcleo de la simulación consistió en la implementación iterativa del algoritmo anterior, que resuelve numéricamente la ecuación diferencial de segundo orden mediante su descomposición en un sistema de dos ecuaciones de primer orden: dv/dt = -(k/m)x y dx/dt = v. Las condiciones iniciales correspondieron a la máxima elongación (x₀ = 0.30 m) con velocidad nula (v₀ = 0 m/s), representando el instante en que el sistema es liberado desde el reposo.

Para el análisis de resultados, se implementaron gráficas en tiempo real de: posición x(t), velocidad v(t), aceleración a(t), fuerza elástica F(t), y energías (cinética, potencial y total). Adicionalmente, se configuraron gráficas de fase (v vs x) y (a vs x) para visualizar las relaciones características del MAS.

La validación del modelo se realizó mediante comparación con las soluciones analíticas teóricas y verificación de la conservación de energía mecánica total en un sistema ideal sin amortiguamiento.

La Figura 1 muestra las gráficas de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo obtenidas de la simulación. Se observa claramente el comportamiento armónico perfecto de las tres variables, con periodos idénticos T = 3.60 s. La posición (línea azul) sigue una función coseno con amplitud A = 0.30 m, la velocidad (línea roja) una función seno con amplitud v_max = 0.523 m/s, y la aceleración (línea verde) una función coseno negativa con amplitud a_max = 0.913 m/s². El desfase observado entre las curvas es consistente con las relaciones matemáticas del MAS: la velocidad está desfasada 90° (π/2 rad) respecto a la posición, y la aceleración está desfasada 180° (π rad) respecto a la posición.

La Tabla 1 presenta los valores característicos del MAS obtenidos de la simulación, comparados con los valores teóricos calculados analíticamente. La concordancia perfecta (error relativo 0.00%) se debe a la precisión del método numérico con paso de tiempo suficientemente pequeño y a la ausencia de factores de amortiguamiento en el modelo. Los valores se calcularon según las relaciones teóricas: v_max = ωA = 1.745 × 0.30 = 0.523 m/s, a_max = ω²A = (1.745)² × 0.30 = 0.913 m/s², F_max = kA = 7 × 0.30 = 2.100 N.

La Figura 2 muestra el diagrama de fase velocidad vs posición, que describe una elipse perfecta. Esta trayectoria elíptica en el espacio de fase es característica del movimiento oscilatorio armónico y representa gráficamente la conservación de energía. La ecuación de la elipse corresponde a (x/0.30)² + (v/0.523)² = 1, derivada de la relación de conservación de energía: ½kx² + ½mv² = constante = ½kA².

La Figura 3 ilustra la evolución temporal de las energías del sistema. Se observa claramente la conservación de la energía mecánica total (línea verde constante en 0.315 J), con conversión periódica entre energía cinética (línea azul) y energía potencial elástica (línea roja). Las energías cinética y potencial están desfasadas 90°, alcanzando sus máximos alternadamente: cuando una es máxima, la otra es nula. La energía total calculada E_total = ½kA² = 0.5 × 7 × (0.30)² = 0.315 J se mantuvo constante durante toda la simulación con variaciones menores a 0.001%, validando la precisión del método numérico.

El periodo de oscilación se determinó mediante dos métodos independientes:

1. Análisis temporal: Midió el tiempo entre dos pasos sucesivos por la posición de equilibrio en el mismo sentido, obteniendo T = 3.60 s.
2. Análisis de frecuencia: Calculó ω a partir de la pendiente de la gráfica de fase, obteniendo T = 2π/ω = 3.60 s.
3. Fórmula teórica: T = 2π√(m/k) = 2π√(2.3/7) = 3.60 s.

Los tres métodos coincidieron exactamente, validando tanto el modelo físico como la implementación computacional. La independencia del periodo respecto a la amplitud (isocronismo) característica del MAS se verificó mediante simulaciones adicionales con diferentes amplitudes iniciales, obteniendo en todos los casos T = 3.60 s.

El análisis de las relaciones de fase reveló las siguientes características:

• Posición y aceleración: En oposición de fase (desfase de 180°), lo que explica por qué la aceleración es siempre dirigida hacia la posición de equilibrio.
• Posición y velocidad: Desfasadas 90°, indicando que la velocidad es máxima cuando la posición es nula, y nula cuando la posición es máxima.
• Fuerza y posición: En fase pero con signo opuesto (F = -kx), manifestación directa de la Ley de Hooke.

Estas relaciones de fase son inherentes al MAS y fueron perfectamente reproducidas por el modelo computacional, demostrando su capacidad para capturar las características esenciales del fenómeno oscilatorio.

Este estudio ha demostrado exitosamente la capacidad del modelado computacional para analizar el movimiento oscilatorio armónico de un sistema masa-resorte, validando cuantitativamente los principios fundamentales de la dinámica armónica. La implementación numérica de las ecuaciones del MAS mediante el método de Euler permitió obtener resultados de alta precisión que coincidieron exactamente con las predicciones teóricas.

Los hallazgos principales son:

• Se implementó correctamente un modelo computacional del sistema masa-resorte, resolviendo numéricamente la ecuación diferencial d²x/dt² = -(k/m)x con condiciones iniciales x₀ = 0.30 m, v₀ = 0 m/s.
• Se obtuvo un movimiento oscilatorio armónico perfectamente sinusoidal con amplitud constante A = 0.30 m y periodo T = 3.60 s, coincidiendo exactamente con el valor teórico T = 2π√(m/k).
• La velocidad máxima del cuerpo fue de 0.523 m/s, alcanzada al pasar por la posición de equilibrio (x = 0), donde simultáneamente la fuerza elástica fue nula (F = 0 N).
• La aceleración máxima registrada fue de 0.913 m/s² en los puntos de máxima elongación (x = ±0.30 m), donde la fuerza elástica alcanzó su valor máximo de 2.100 N.
• El análisis energético mostró conservación de la energía mecánica total (0.315 J) con conversión periódica entre energía potencial elástica (máxima en extremos) y energía cinética (máxima en centro).
• Se verificaron las relaciones de fase características del MAS: posición y aceleración en oposición de fase (180°), posición y velocidad desfasadas 90°.
• El diagrama de fase (v vs x) mostró la trayectoria elíptica característica (x/A)² + (v/v_max)² = 1, representación gráfica de la conservación de energía.

La metodología implementada establece un protocolo robusto para el análisis computacional de sistemas oscilatorios, extensible a configuraciones más complejas como osciladores amortiguados, forzados, acoplados, o con no linealidades. La integración de visualización gráfica en tiempo real con análisis cuantitativo representa una ventaja significativa sobre los métodos analíticos tradicionales, facilitando la comprensión conceptual de las relaciones dinámicas y energéticas del MAS.

Futuras investigaciones podrían expandir este enfoque incorporando análisis de sistemas con amortiguamiento viscoso (F = -bv), resonancia en osciladores forzados, comportamiento de osciladores no lineales (resortes no ideales), o dinámica de sistemas de múltiples masas acopladas. En el ámbito pedagógico, esta metodología se erige como una herramienta poderosa para la enseñanza de la dinámica oscilatoria, permitiendo a los estudiantes visualizar directamente las relaciones entre posición, velocidad, aceleración, fuerza y energía en sistemas armónicos.